设p是素数,a是整数,(a,p)=1,证明:存在整数u,v,(u,v)=1,使u^2+a*u^2=0(modp)的充要条件是-a是模p的二次剩余

充分性：因为 -a 是模 p 的二次剩余，因此方程 x^2≡ -a(mod p) 有解， 设 u^2≡ -a(mod p) ， 则 u^2+a≡u^2+a*1^2≡0(mod p) 。因此存在整数 u、v 满足条件。 必要性：由（u，v）=1 及 u^2+a*v^2≡0(mod p) 得 （p，v）=1 ， 因此存在整数 v1 使 vv1≡1(mod p) ， 在已知等式中，两边同乘以 v1^2 得 (uv1)^2+a(vv1)^2≡(uv1)^2+a≡0(mod p) ， 即 (uv1)